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§ QM-17 不含时微扰论
2025-05-17
量子力学原理习题解
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目录

第17章 不含时微扰论
17.1 形式
17.2 一些例子
17.3 简并微扰论

第17章 不含时微扰论

17.1 形式

17.2 一些例子

习题 17.2.1 对谐振子问题考虑 H1=λx4H^1=\lambda x^4。

(1) 证明

En1=3ℏ2λ4m2ω2[1+2n+2n2]E_n^1=\frac{3 \hbar^2 \lambda}{4 m^2 \omega^2}\left[1+2 n+2 n^2\right]

(2) 说明无论 λ\lambda 多么小，只要 nn 足够大，微扰展开总会失效。其物理原因是什么？

习题 17.2.2 考虑一个旋磁比为 γ\gamma 的自旋 1/21/2 粒子，处于磁场 B=Bi+B0k\mathbf{B}=B \mathbf{i}+B_0 \mathbf{k} 中。把 BB 视为微扰，计算基态能量的一阶和二阶修正，以及波函数的一阶修正。然后将精确结果展开到相应阶数并进行比较。

习题 17.2.3 在研究氢原子时，我们假设质子是一个点电荷 ee。这会得到熟悉的电子—质子 Coulomb 相互作用 (−e2/r)\left(-e^2/r\right)。

(1) 证明：如果质子是一个半径为 RR、电荷密度均匀的电荷分布，那么相互作用势为

V(r)=−3e22R+e2r22R3,r⩽R=−e2r,r>R\begin{aligned} V(r) & =-\frac{3 e^2}{2 R}+\frac{e^2 r^2}{2 R^3}, & & r \leqslant R \\ & =-\frac{e^2}{r}, & & r>R \end{aligned}

(2) 计算这种修正导致的氢原子基态能量的一阶修正。可以假设 e−R/a0≃1\mathrm{e}^{-R / a_0} \simeq 1。 你应该得到 E1=2e2R2/5a03E^1=2 e^2 R^2 / 5 a_0^3。

习题 17.2.4 (1) 证明 Thomas-Reiche-Kuhn 求和规则

∑n′(En′−En)∣⟨n′∣X∣n⟩∣2=∑n′(En′−En)⟨n∣X∣n′⟩⟨n′∣X∣n⟩=ℏ22m\sum_{n^{\prime}}\left(E_{n^{\prime}}-E_n\right)|\langle n^{\prime}\mid X\mid n\rangle|^ 2=\sum_{n^{\prime}}\left(E_{n^{\prime}}-E_n\right)\langle n\mid X\mid n^{\prime}\rangle\langle n^{\prime}\mid X\mid n\rangle=\frac{\hbar^2}{2 m}

其中 ∣n⟩|n\rangle 和 ∣n′⟩\left|n^{\prime}\right\rangle 是 H=P2/2m+V(X)H=P^2 / 2 m+V(X) 的本征态。 [提示：用 HH 消去因子 En′−EnE_{n^{\prime}}-E_n。]

(2) 在谐振子的第 nn 个状态上检验该求和规则。

习题 17.2.5 我们已经看到，如果忽略 He 原子基态中两个电子之间的排斥作用 e2/r12e^2 / r_{12}， 则能量为 −8Ry=−108.8 eV-8 \mathrm{Ry}=-108.8~\mathrm{eV}。 把 e2/r12e^2 / r_{12} 视为微扰，证明

⟨100,100∣H1∣100,100⟩=52Ry\langle 100,100| H^1|100,100\rangle=\frac{5}{2} \mathrm{Ry}

从而 E00+E01=−5.5.Ry=−74.8 eVE_0^0+E_0^1=-5.5 . \mathrm{Ry}=-74.8~\mathrm{eV}。 回忆实验测得的数值为 −78.6 eV-78.6~\mathrm{eV}， 而变分估计为 −77.5 eV-77.5~\mathrm{eV}。

[提示： ⟨H1⟩\left\langle H^1\right\rangle 可以看成两个同心、球对称并按指数衰减的电荷分布之间的相互作用。先求其中一个电荷分布产生的势 ϕ(r)\phi(r)， 再计算该势与另一个电荷分布之间的相互作用能。]

习题 17.2.6 验证方程 (17.2.34)。

习题 17.2.7 对谐振子考虑 H1=−qfXH^1=-qfX。 求一个满足方程 (17.2.38) 的 Ω\Omega。把它代入方程 (17.2.39) 中的 En2E_n^2 并与前面的计算比较。

习题 17.2.8 补全从方程 (17.2.41) 到方程 (17.2.43) 的推导步骤。尽量利用对称性论证来减少计算积分的工作量。

17.3 简并微扰论

习题 17.3.1 利用偶极跃迁选择定则证明 H1H^1 具有上面的形式，并完成 Δ\Delta 的计算。

习题 17.3.2 考虑一个自旋 1 粒子（没有轨道自由度）。令 H=ASz2+B(Sx2−Sy2)H=A S_z^2+B\left(S_x^2-S_y^2\right)， 其中 SiS_i 是 3×33\times3 自旋矩阵，并且 A≫BA \gg B。 把 BB 项视为微扰，求 H0=ASz2H^0=A S_z^2 的那些在微扰下保持稳定的本征态。计算能量对 BB 的一阶修正。它们与精确结果之间是什么关系？

习题 17.3.3 考虑 H0H^0 包含 Coulomb 相互作用和自旋—轨道相互作用，而 H1H^1 是弱磁场 B=Bk\mathbf{B}=B \mathbf{k} 的效应。选取适当的基底，证明一阶能级修正与 jzj_z 的关系为

E1=(eB2mc)(1±12l+1)jz,j=l±1/2E^1=\left(\frac{e B}{2 m c}\right)\left(1 \pm \frac{1}{2 l+1}\right) j_z, \quad j=l \pm 1 / 2

假设 E1≪Ef.s.1E^1 \ll E_{\text{f.s.}}^1， 画出 n=2n=2 能级的示意图。

习题 17.3.4 这里讨论一些计算氢原子本征态中某些算符期望值的技巧。

(1) 假设我们想求 ⟨1/r⟩nlm\langle 1 / r\rangle_{nlm}。 先考虑 ⟨λ/r⟩\langle\lambda / r\rangle。 可以把 ⟨λ/r⟩\langle\lambda / r\rangle 理解为微扰 λ/r\lambda / r 导致的一阶修正。这个问题实际上可以精确求解：只需在所有地方把 e2e^2 替换为 e2−λe^2-\lambda。 （为什么？）

因此，根据方程 (13.1.16)，精确能量为 E(λ)=−(e2−λ)2m/2n2ℏ2E(\lambda)= -\left(e^2-\lambda\right)^2 m / 2 n^2 \hbar^2。 一阶修正就是关于 λ\lambda 的线性项，即 E1=me2λ/n2ℏ2=⟨λ/r⟩E^1=m e^2 \lambda / n^2 \hbar^2=\langle\lambda / r\rangle， 由此得到 ⟨1/r⟩=1/n2a0\langle 1 / r\rangle=1 / n^2 a_0， 与方程 (13.1.36) 一致。

为了后面使用，注意 E(λ)=E0+E1+⋯=E(λ=0)+λ(dE/dλ)∗λ=0+⋯E(\lambda)=E^0+E^1+\cdots=E(\lambda=0)+\lambda(\mathrm{d}E/\mathrm{d}\lambda)*{\lambda=0}+\cdots， 因此从精确结果中提取 E1E^1 的一种方法就是计算 λ(dE/dλ)∗λ=0\lambda(\mathrm{d}E/\mathrm{d}\lambda)*{\lambda=0}。

(2) 现在考虑 ⟨λ/r2⟩\left\langle\lambda / r^2\right\rangle。 在这种情况下仍然可以得到精确解，因为该微扰只是把离心项修改为

ℏ2l(l+1)2mr2+λr2=ℏ2l′(l′+1)2mr2(17.3.23)\frac{\hbar^2 l(l+1)}{2 m r^2}+\frac{\lambda}{r^2}=\frac{\hbar^2 l^{\prime}\left(l^{\prime}+1\right)}{2 m r^2}\tag{17.3.23}

其中 l′l^{\prime} 是 λ\lambda 的函数。根据方程 (13.1.14)，EE 对 l′(λ)l^{\prime}(\lambda) 的依赖为

E(l′)=−me42ℏ2(k+l′+1)2=E(λ)=E0+E1+⋯E\left(l^{\prime}\right)=\frac{-m e^4}{2 \hbar^2\left(k+l^{\prime}+1\right)^2}=E(\lambda)=E^0+E^1+\cdots

证明

⟨λr3⟩=E1=λdEdλ∣λ=0=(dEdl′)l′=l⋅(dl′dλ)l′=l⋅λ=λn3a02(l+12)\left\langle\frac{\lambda}{r^3}\right\rangle=E^1=\left.\lambda \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}\lambda}\right|_{\lambda=0}=\left(\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}l^{\prime}}\right)_{l^{\prime}=l} \cdot\left(\frac{\mathrm{d}l^{\prime}}{\mathrm{d} \lambda}\right)_{l^{\prime}=l} \cdot \lambda=\frac{\lambda}{n^3 a_0^2\left(l+\frac{1}{2}\right)}

两边约去 λ\lambda，便得到方程 (17.3.11)。

(3) 最后考虑 ⟨l/r3⟩\left\langle l / r^3\right\rangle。 由于 Coulomb Hamilton量中没有这样的项，我们采用另一个技巧。考虑径向动量算符 pr=−iℏ(∂/∂r+1/r)p_r=-i \hbar(\partial / \partial r+1 / r)， 利用它可以把 Hamilton量的径向部分

(−ℏ22m)(1r2∂∂rr2∂∂r)\left(\frac{-\hbar^2}{2 m}\right)\left(\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial}{\partial r}\right)

写成 pr2/2mp_r^2 / 2 m。 （请验证。）

利用能量本征态中 ⟨[H,pr]⟩=0\left\langle\left[H, p_r\right]\right\rangle=0 这一事实，并显式计算该对易子，证明

⟨1r3⟩=1a0(l)(l+1)⟨1r2⟩\left\langle\frac{1}{r^3}\right\rangle=\frac{1}{a_0(l)(l+1)}\left\langle\frac{1}{r^2}\right\rangle

再与第 (2) 问的结果结合，便得到方程 (17.3.20)。

(4) 利用第 (1) 问中的技巧求平均动能，这一次对质量作重新标度。重新得到 Virial 定理。