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§ QM-18 含时微扰论
2025-05-18
量子力学原理习题解
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目录

第18章 含时微扰论
18.1 问题
18.2 一阶微扰论
18.3 微扰论的高阶修正
18.4 电磁相互作用的一般讨论
18.5 原子与电磁辐射的相互作用

第18章 含时微扰论

18.1 问题

18.2 一阶微扰论

习题 18.2.1 证明：如果 H1(t)=−eEX/[1+(t/τ)2]H^1(t)=-e \mathscr{E} X /\left[1+(t / \tau)^2\right]， 那么在一阶近似下，

P0→1=e2E2π2τ22mωℏe−2ωτP_{0 \rightarrow 1}=\frac{e^2 \mathscr{E}^2 \pi^2 \tau^2}{2 m \omega \hbar} \mathrm{e}^{-2 \omega \tau}

习题 18.2.2 一个氢原子在 t=−∞t=-\infty 时处于基态。施加电场 E(t)=(kE)e−t2/τ2\mathbf{E}(t)=(\mathbf{k} \mathscr{E}) e^{-t^2 / \tau^2} 直到 t=∞t=\infty。证明：在一阶近似下，原子最终处于任意一个 n=2n=2 状态的概率为

P(n=2)=(eEℏ)2(215a02310)πτ2e−ω2τ2/2P(n=2)=\left(\frac{e \mathscr{E}}{\hbar}\right)^2\left(\frac{2^{15} a_0^2}{3^{10}}\right) \pi \tau^2 e^{-\omega^2 \tau^2 / 2}

其中 ω=(E2lm−E100)/ℏ\omega=\left(E_{2 l m}-E_{100}\right) / \hbar。 答案是否取决于是否把自旋包括在描述中？

习题 18.2.3 考虑一个处于长度为 LL 的势箱基态中的粒子。根据半经典论证说明，与它相关的自然时间尺度为 T≃mL2/ℏπT \simeq m L^2 / \hbar \pi。 如果势箱在时间 τ≪T\tau\ll T 内关于中心对称地扩展为原来的两倍，那么在新势箱的基态中发现粒子的概率是多少？（见习题 5.2.1。）

习题 18.2.4 在 β\beta 衰变 H3\mathrm{H}^3 （核内两个中子和一个质子） →(He3)+\rightarrow\left(\mathrm{He}^3\right)^{+} （核内两个质子和一个中子）中，发射电子的动能为 16 keV16~\mathrm{keV}。 说明可以使用突然近似来描述一个最初处于 H3\mathrm{H}^3 的 1s1s 状态中的电子的响应。证明它处于 (He3)+\left(\mathrm{He}^3\right)^{+} 基态的振幅为 16(2)1/2/2716(2)^{1 / 2} / 27。 那么它处于

∣n=16,l=3,m=0⟩ of (He3)+|n=16, l=3, m=0\rangle~\text{of}~\left(\mathrm{He}^3\right)^{+}

状态的概率是多少？

习题 18.2.5 一个谐振子处于 H=H0+H1H=H^0+H^1 的基态，其中与时间无关的微扰 H1H^1 是线性势 (−fx)(-fx)。 如果在 t=0t=0 时突然关闭 H1H^1，证明系统处于 H0H^0 的第 nn 个本征态的概率由 Poisson 分布给出：

P(n)=e−λλnn!, where λ=f22mω3ℏP(n)=\frac{\mathrm{e}^{-\lambda} \lambda^n}{n!}, \quad \text { where } \quad \lambda=\frac{f^2}{2 m \omega^3 \hbar}

[提示：使用公式

exp⁡[A+B]=exp⁡[A]exp⁡[B]exp⁡[−12[A,B]]\exp [A+B]=\exp [A] \exp [B] \exp \left[-\frac{1}{2}[A, B]\right]

其中 [A,B][A,B] 是一个 cc 数。]

习题 18.2.6 考虑一个受到微扰 H1(t)=H1δ(t)H^1(t)=H^1 \delta(t) 的系统。证明：如果在 t=0−t=0^{-} 时系统处于状态 ∣i0⟩\left|i^0\right\rangle， 那么在 t=0+t=0^{+} 时处于状态 ∣f0⟩\left|f^0\right\rangle 的振幅在一阶近似下为

df=−iℏ⟨f0∣H1∣i0⟩(f≠i)d_f=\frac{-\mathrm{i}}{\hbar}\left\langle f^0\right| H^1\left|i^0\right\rangle \quad(f \neq i)

注意： (1) 系统的状态确实会瞬时发生变化； (2) 即使微扰在 t=0t=0 时是“无穷大”的，只要它“曲线下面积”足够小，我们仍然可以使用一阶微扰论。

18.3 微扰论的高阶修正

习题 18.3.1 推导方程 (18.3.30)。

习题 18.3.2 在习题 14.4.3 的顺磁共振问题中，我们变换到了真实空间中的旋转参考系。证明这也等价于 Hilbert 空间中的一个旋转，但除了共振情形以外，它既不会把我们带到相互作用表象，也不会带到 Heisenberg 表象。在共振时，它对应于哪一种表象？ （如果 B=B0k+Bcos⁡ωti−Bsin⁡ωtj\mathbf{B}=B_0 \mathbf{k}+B \cos \omega t \mathbf{i}-B \sin \omega t \mathbf{j}， 将 B0B_0 与 HS0H_S^0 对应，而将 BB 与 HS1H_S^1 对应。）

18.4 电磁相互作用的一般讨论

习题 18.4.1 对方程 (18.4.5) 取散度，证明如果 Maxwell 方程彼此相容，就必须满足连续性方程。

习题 18.4.2 利用方程 (18.4.7) 和 (18.4.9)，分别计算与 (A,ϕ)(\mathbf{A}, \phi) 和 (A′,ϕ′)(\mathbf{A}^{\prime}, \phi^{\prime}) 对应的 E\mathbf{E} 和 B\mathbf{B}，并验证上面的说法。

习题 18.4.3 假设给定某些不满足 Coulomb 规范条件的 A\mathbf{A} 和 ϕ\phi。让我们看看如何把它们变换到 Coulomb 规范。

(1) 证明如果选择

Λ(r,t)=−c∫−∞tϕ(r,t′)dt′\Lambda(\mathbf{r}, t)=-c \int_{-\infty}^t \phi\left(\mathbf{r}, t^{\prime}\right) \mathrm{d} t^{\prime}

并变换到 (A′,ϕ′)(\mathbf{A}^{\prime}, \phi^{\prime})， 那么 ϕ′=0\phi^{\prime}=0。 此时 A′\mathbf{A}^{\prime} 就是 A−∇Λ\mathbf{A}-\boldsymbol{\nabla} \Lambda， 而 ∇⋅A′\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}^{\prime} 不一定为零。

(2) 证明如果再通过

Λ′=−14π∫∇⋅A′(r′,t)d3r′∣r−r′∣\Lambda^{\prime}=-\frac{1}{4 \pi} \int \frac{\nabla \cdot \mathbf{A}^{\prime}\left(\mathbf{r}^{\prime}, t\right) \mathrm{d}^3 \mathbf{r}^{\prime}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|}

进行一次规范变换，得到 (A′′,ϕ′′)(\mathbf{A}^{\prime \prime}, \phi^{\prime \prime})， 那么 ∇⋅A′′=0\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}^{\prime \prime}=0。 [提示：回忆 ∇2(1/∣r−r′∣)=−4πδ3(r−r′)\nabla^2\left(1 /\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right|\right)=-4 \pi \delta^3\left(\mathbf{r}-\mathbf{r}^{\prime}\right)。]

(3) 利用 ∇⋅E=0\nabla \cdot \mathbf{E}=0 验证 ϕ′′\phi^{\prime \prime} 也为零。

(4) 证明：如果希望在 Coulomb 规范内部继续作规范变换，那么 Λ\Lambda 必须与时间无关，并满足 ∇2Λ=0\nabla^2 \Lambda=0。 如果再要求当空间趋于无穷远时 ∣A∣→0|\mathbf{A}| \rightarrow 0， 那么 A\mathbf{A} 就变得唯一。

习题 18.4.4 （Schrödinger 方法中规范不变性的证明）

(1) 写出处于势 (A,ϕ)(A,\phi) 中的粒子的 Hamilton量 HH。

(2) 写出对势作规范变换之后得到的 Hamilton量 HΛH_{\Lambda}。

(3) 证明：如果 ψ(r,t)\psi(\mathbf{r}, t) 是 Hamilton量 HH 对应的 Schrödinger 方程的解，那么方程 (18.4.33) 中给出的 ψΛ(r,t)\psi_{\Lambda}(\mathbf{r}, t) 就是 H→HΛH\rightarrow H_{\Lambda} 后相应的解。

18.5 原子与电磁辐射的相互作用

习题 18.5.1 (1) 重新考察推导过程，说明可以通过在方程 (18.5.19) 中将 pf\mathbf{p}_f 替换为 pf−ℏk\mathbf{p}_f-\hbar \mathbf{k}， 从而精确地计入因子 eik⋅r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}。

(2) 验证上面关于电子动量分布的说法。

习题 18.5.2 (1) 当逸出电子的动能为 10 Ry10~\mathrm{Ry} 时，估算光电截面。将其与原子的几何截面 ≃πa02\simeq \pi a_0^2 比较。

(2) 证明：如果考虑电荷数为 ZZ 的原子，其 1s1s 状态发生光电发射，那么在极限 pfa0/Zℏ≫1p_f a_0 / Z \hbar \gg 1 下， σ∝Z5\sigma \propto Z^5。