第16章 变分法与 WKB 方法

16.1 变分法

习题 16.1.1 对 $V=\dfrac{1}{2} m \omega^2 x^2$ 取试探函数 $\psi=\exp \left(-\alpha x^2\right)$， 求 $\alpha_0$ 和 $E\left(\alpha_0\right)$。

习题 16.1.2 对于一个从 $-a$ 延伸到 $a$ 的势箱中的粒子，在势箱内取 $\psi=(x-a)(x+a)$， 并计算 $E$。这里没有可供变分的参数，但仍然能够得到一个上界。将它与真实能量 $E_0$ 比较。（说明 $\psi^{\prime \prime}$ 在 $x=\pm a$ 处的奇异性不会对能量作出贡献。）

习题 16.1.3 对吸引型 delta 函数势 $V=-a V_0 \delta(x)$， 使用 Gaussian 试探函数。计算 $E_0$ 的上界，并与精确结果 $-m a^2 V_0^2/2\hbar^2$ 比较（见习题 5.2.3）。

习题 16.1.4 对谐振子取

计算 $E(a)$，将其极小化，并与 $\hbar \omega / 2$ 比较。

习题 16.1.5 对处于势 $V=-e^2/r$ 中的电子的 $l=1$ 状态求解变分问题。在试探函数中应包含： (i) 当 $r\rightarrow 0$ 时与 $l=1$ 相适应的正确行为； (ii) 为使能量最小所需的正确节点数； (iii) 在 Coulomb 势中当 $r\rightarrow \infty$ 时波函数的正确行为（即指数衰减，而不是 Gaussian 衰减）。 对于 $Y_l^m$，选择哪个 $m$ 是否重要？讨论你得到的能量上界与精确结果之间的关系。

16.2 Wentzel-Kramers-Brillouin 方法

习题 16.2.1 考虑方程 (16.2.21a) 中引入的函数 $W(E)$。由于 $-E$ 是 $S(t)$ 对 $t$ 的导数，因此 $W(E)$ 必须是 $S$ 的 Legendre 变换。在这种情况下，$t$ 应当作为 $W(E)$ 对 $E$ 的导数出现。验证对公式

关于 $E$ 求导，得到的是在预先给定能量下从起点运动到终点所需的时间 $t$。

习题 16.2.2 利用上面给出的方法考虑自由粒子问题。现在你已经显式知道波函数，利用围道积分计算方程 (16.2.18b) 中的积分，得到

在做围道积分时，要考虑对于给定的 $x-x^{\prime}$ 符号，应当在哪个半平面闭合围道。将上述结果与半经典结果比较，并确认它们彼此一致。

注意，这里没有必要构造组合 $U\left(x, x^{\prime}, t\right)+U^*\left(x, x^{\prime}, t\right)$； 由于我们显式知道被积函数对 $p$ 的依赖关系，因此可以分别计算主值部分和 delta 函数的贡献。为了更清楚地看到这一点，可以不采用围道积分，而改用上面给出的 $(x \pm i \varepsilon)^{-1}$ 公式。计算主值积分和 delta 函数的贡献，并观察它们如何相加得到围道积分的结果。

虽然在这里两种方法都可行，但对于 $V\neq0$ 的问题，围道积分无法使用，因为我们不知道波函数在复 $p$ 平面中的 $p$ 依赖关系。使用 $U+U^*$ 方法的优点在于，它只涉及实轴上的量，而且只涉及一个能量值。

习题 16.2.3 让我们重新审视一下前面的推导。为了分离出某一个能量的本征函数，我们付出了相当多的努力：构造 $U\left(x, x^{\prime}, z\right)+U^*\left(x, x^{\prime}, z\right)$ 来消去主值部分并筛选出 delta 函数。

现在很清楚，如果在方程 (16.2.18a) 中能够把积分范围扩展到 $-\infty\leqslant t\leqslant\infty$， 那么就会直接得到所需的 $\delta$ 函数。此前阻碍我们这样做的是：$U(t)$ 原本是为 $t>0$ 构造的。然而，如果对负时间使用时间演化算符 $\mathrm{e}^{-(\mathrm{i}/\hbar)Ht}$， 那么在假定 Hamilton量保持不变的前提下，它只是在告诉我们系统在更早时刻的状态。因此，我们同样可以赋予负时间下的算符以意义，并定义一个覆盖所有时间的变换。

在经典力学中也是如此。例如，如果从一座高楼上竖直向上抛出一块石头，并问它什么时候到达地面，我们会得到两个答案，其中负的 $t$ 对应于把给定初始条件向更早时间外推。

通过考察 $\langle x\mid \mathrm{e}^{-(\mathrm{i}/\hbar)Hf}\mid x^{\prime}\rangle$ 在复共轭以及交换 $x \leftrightarrow x^{\prime}$ 下的变化，验证 $U\left(x, x^{\prime}, z\right)+U^*\left(x, x^{\prime}, z\right)$ 确实是 $U(t)$ 在整个时间轴上的变换。同样，考察把 $U_{\mathrm{cl}}$ 在所有时间上作变换时会发生什么。

此时你会发现，不管 $x-x^{\prime}$ 的符号如何，一条向右运动的经典轨道都可能作出贡献——只是稳定点的时间 $t^*$ 会随着 $x-x^{\prime}$ 的符号改变而改变符号。（对于向左运动的轨道也是如此。）

习题 16.2.4 动能为 $4.2~\mathrm{MeV}$ 的 α 粒子通过隧穿从一个核电荷数 $Z=90$ 的原子核中逸出（这里的 $Z$ 指发射之后的核）。假设 $V_0=0$、 $x_0=10^{-12}~\mathrm{cm}$， 并且当 $x\geqslant x_0$ 时，$V(x)$ 完全是 Coulomb 势。（见图 16.1。）估算平均寿命。

[提示：证明 $\gamma=\left(8 Z e^2 / \hbar v\right)\left[\cos ^{-1} y^{1 / 2}-y^{1 / 2}(1-y)^{1 / 2}\right]$， 其中 $y=x_0 \mid x_e$。 证明 $y\ll1$，并在进行数值计算前使用 $\cos^{-1} y^{1/2} \simeq \dfrac{1}{2}\pi -y^{1/2}$。]

习题 16.2.5 1974 年发现了两个新粒子，称为 $\psi$ 和 $\psi^{\prime}$，它们的静止能量分别为 $3.1$ 和 $3.7~\mathrm{GeV}$， 其中 $1~\mathrm{GeV}=10^9~\mathrm{eV}$。 人们认为它们是一个质量为 $m=1.5~\mathrm{GeV}/c^2$ （即 $mc^2=1.5~\mathrm{GeV}$） 的粲夸克与一个同质量反夸克组成的非相对论束缚态，二者处于线性势 $V(r)=V_0+kr$ 中。

假设这两个粒子分别是轨道角动量为零时的 $n=0$ 和 $n=1$ 束缚态，利用 WKB 公式计算 $V_0$。对于 $\psi^{\prime\prime}$， 即 $n=2$ 状态，你预测它的静止质量是多少？（实验测得约为 $4.2~\mathrm{GeV}/c^2$。）

[提示：(1) 使用 $\mathrm{GeV}$ 而不是 $\mathrm{eV}$ 进行计算。 (2) 没有必要显式求出 $k$。]

习题 16.2.6 利用标度技巧，对 $\lambda x^4$ 势推导方程 (16.2.39)。

习题 16.2.7 用 WKB 方法求谐振子的允许能级。

习题 16.2.8 考虑 Coulomb 问题中 $l=0$ 的径向方程。由于 $V(r)$ 在转向点 $r=0$ 处是奇异的，因此不能使用 $(n+3/4)$。

(1) 加性常数应当大于还是小于 $3/4$？

(2) 通过分析 $r=0$ 附近的精确方程，可以证明该常数等于 $1$。利用这一常数，证明 WKB 能级与精确结果一致。