第14章自旋

14.1 引言

14.2 自旋的本质是什么？

14.3 自旋的运动学

习题 14.3.1 让我们显式验证上面的推论。取一个旋量，其分量为 $\alpha=\rho_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi_1}$ 和 $\beta=\rho_2 \mathrm{e}^{\mathrm{i} \phi_2}$ 。由 $\langle\chi \mid \chi\rangle=1$ 推出，对于某个 $\theta$ ，可以写成 $\rho_1=\cos (\theta / 2)$ 和 $\rho_2=\sin (\theta / 2)$ 。接着提出一个公共相位因子，使旋量具有方程 (14.3.28a) 中的形式。这便验证了该推论，同时也确定了 $\hat{n}$ 。

习题 14.3.2 (1) 证明 $\boldsymbol{\sigma}\cdot\hat{n}$ 的本征矢由方程 (14.3.28) 给出。

(2) 验证方程 (14.3.29)。

习题 14.3.3 利用方程 (14.3.32) 和 (14.3.33)，证明 Pauli 矩阵的迹为零。

习题 14.3.4 用两种不同的方法推导方程 (14.3.39)。

(1) 将 $\sigma_{1}\sigma_{2}$ 写成 $[\sigma_{i},\sigma_{j}]_{+}$ 与 $[\sigma_{i},\sigma_{j}]$ 的组合。

(2) 使用方程 (14.3.42) 和 (14.3.43)。

习题 14.3.5 将下列矩阵 $M$ 表示成 Pauli 矩阵的线性组合：

M=\begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ \gamma & \delta \end{pmatrix}

习题 14.3.6 (1) 说明 $|\hat{n},+\rangle=U[R(\phi \mathbf{k})] U[R(\theta \mathbf{j})]\left|s_z=\hbar / 2\right\rangle$ 。

(2) 通过显式计算验证。

习题 14.3.7 将下列各式表示成 Pauli 矩阵与 $I$ 的线性组合：

(1) $\left(I+\mathrm{i} \sigma_x\right)^{1 / 2}$ 。（把它与某个旋转的一半联系起来。）

(2) $\left(2 I+\sigma_x\right)^{-1}$ 。

(3) $\sigma_x^{-1}$ 。

习题 14.3.8 (1) 证明：任何与 $\boldsymbol{\sigma}$ 对易的矩阵都必定是单位矩阵的倍数。

(2) 证明：不可能找到一个同时与三个 Pauli 矩阵反对易的非零矩阵。（如果这样的矩阵存在，那么它必须等于零。）

14.4 自旋动力学

习题 14.4.1 证明：如果 $H=-\gamma \mathbf{L} \cdot \mathbf{B}$ ，并且 $\mathbf{B}$ 与位置无关，那么

\frac{\mathrm{d}\langle\mathbf{L}\rangle}{\mathrm{d} t}=\langle\boldsymbol{\mu} \times \mathbf{B}\rangle=\langle\boldsymbol{\mu}\rangle \times \mathbf{B}

习题 14.4.2 通过研究图 14.3 推导方程 (14.4.31)。

习题 14.4.3 我们希望研究这样一个状态的演化：它最初为 $\binom{1}{0}$ ，并处于方程 (14.4.27) 给出的 $\mathbf{B}$ 场中。该状态满足

\mathrm{i} \hbar \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|\psi(t)\rangle=H|\psi\rangle\tag{14.4.34}

其中 $H=-\gamma \mathbf{S} \cdot \mathbf{B}$ ，而 $\mathbf{B}$ 随时间变化。经典推理表明，在以频率 $(-\omega \mathbf{k})$ 旋转的参考系中，Hamilton量应当与时间无关，并由 $\mathbf{B}_r$ [方程 (14.4.29)] 决定。于是考虑旋转参考系中的 ket $\left|\psi_r(t)\right\rangle$ ，它与 $|\psi(t)\rangle$ 之间通过旋转角 $\omega t$ 联系：

\left|\psi_r(t)\right\rangle=\mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t S_z / \hbar}|\psi(t)\rangle\tag{14.4.35}

联立方程 (14.4.34) 与 (14.4.35)，在 $S_z$ 基底中推导 $\left|\psi_r(t)\right\rangle$ 所满足的 Schrödinger 方程，并验证经典预期确实成立。

通过计算旋转参考系中的传播子 $U_r(t)$ ，求解 $\left|\psi_r(t)\right\rangle=U_r(t)\left|\psi_r(0)\right\rangle$ 。再旋转回实验室系，并证明

|\psi(t)\rangle \xrightarrow[S_{z}~\text{基底}]{ }\left[\begin{array}{c} {\left[\cos \left(\frac{\omega_r t}{2}\right)+\mathrm{i} \frac{\omega_0-\omega}{\omega_r} \sin \left(\frac{\omega_r t}{2}\right)\right] \mathrm{e}^{+\mathrm{i} \omega t / 2}} \\ \frac{\mathrm{i} \gamma B}{\omega_r} \sin \left(\frac{\omega_r t}{2}\right) \mathrm{e}^{-\mathrm{i} \omega t / 2} \end{array}\right]\tag{14.4.36}

将这一结果与状态 $|\hat{\mathbf{n}},+\rangle$ 比较，看看在 $\omega_0=\omega$ 时自旋发生了什么。

计算 $\left\langle\mu_z(t)\right\rangle$ 并验证它与方程 (14.4.31) 一致。

习题 14.4.4 在 $t=0$ 时，一个电子处于 $s_z=\hbar/2$ 的状态。随后打开一个恒定磁场 $\mathbf{B}=B\mathbf{i}$ ， $B=100 \mathrm{G}$ 。自旋翻转需要多少秒？

习题 14.4.5 我们希望证明当 $\boldsymbol{\omega}$ 与 $\mathbf{B}_0$ 不平行时，方程 (14.4.26) 仍然成立。

(1) 考虑惯性系（非旋转系）中的一个矢量 $\mathbf{V}$ ，它在时间 $\Delta t$ 内变化了 $\Delta\mathbf{V}$ 。利用习题 12.4.3 的结果说明：在以角速度 $\boldsymbol{\omega}$ 旋转的参考系中观察到的变化为 $\Delta \mathbf{V}-\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{V} \Delta t$ 。由此得到 $\mathbf{V}$ 在两个参考系中时间导数之间的关系。

(2) 将这一结果应用到 $\mathbf{l}$ 的情形 [方程 (14.4.8)]，推出旋转参考系中的有效磁场公式。

习题 14.4.6 （一个密度矩阵问题）

(1) 证明自旋 $1/2$ 粒子系综的密度矩阵可以写成

\rho=\frac{1}{2}(I+\mathbf{a} \cdot \boldsymbol{\sigma})

其中 $\mathbf{a}$ 是一个 $c$ 数矢量。

(2) 证明 $\mathbf{a}$ 就是平均极化 $\langle\overline{\boldsymbol{\sigma}}\rangle$ 。

(3) 一个处于磁场 $\mathbf{B}=B \mathbf{k}$ 中的电子系综，在温度 $T$ 下处于热平衡。构造该系综的密度矩阵，并计算 $\langle\overline{\boldsymbol{\mu}}\rangle$ 。

14.5 轨道自由度的回归

习题 14.5.1 (1) 为什么质子的内禀磁矩与 $\mathbf{B}$ 的耦合是方程 (14.5.4) 的 $m/M$ 阶修正？

(2) 为什么它的轨道运动与 $\mathbf{B}$ 的耦合是 $(m/M)^2$ 阶修正？（两问都可以用经典方式推理。）

习题 14.5.2 (1) 当施加磁场 $\mathbf{B}=1000 \mathrm{kG}$ 时，估算 $n=1$ 状态中的能级分裂相对于该状态未扰动能量的大小。

(2) 回忆我们一直忽略 $H$ 中的 $B^2$ 阶项。假设电子沿半径为 $a_0$ 的经典轨道运动，估算该项在 $n=1$ 状态中的贡献，并与我们保留的线性项 $(-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B})$ 比较。当 $|\mathbf{B}|$ 大于多少时，忽略 $B^2$ 项会开始成为一个很差的近似？

习题 14.5.3 一束沿 $y$ 轴运动的自旋 $1/2$ 粒子通过两个共线的 SG 装置，两者的下方出射束都被挡住。第一个装置的 $\mathbf{B}$ 场沿 $z$ 轴，第二个装置的 $\mathbf{B}$ 场沿 $x$ 轴（也就是说，它由第一个装置绕 $y$ 轴旋转 $\pi/2$ 得到）。从第一个装置出来的粒子中，有多大比例能够通过第二个装置？

如果再加入第三个滤波器，它只透过沿 $z$ 轴自旋向上的粒子，那么从第一个装置出来的粒子中，有多大比例能够通过第三个装置？

如果中间的滤波器沿 $x$ 轴同时透过自旋向上和向下的粒子（不进行阻挡），而最后一个滤波器只透过沿 $z$ 轴自旋向下的粒子，那么从第一个装置出来的粒子中，有多大比例最终能通过最后一个装置？

习题 14.5.4 一束沿 $y$ 轴运动的自旋 1 粒子入射到两个共线的 SG 装置。第一个装置的 $\mathbf{B}$ 沿 $z$ 轴，第二个装置的 $\mathbf{B}$ 沿 $z^{\prime}$ 轴，其中 $z^{\prime}$ 位于 $x-z$ 平面内，并与 $z$ 轴成角 $\theta$ 。两个装置都只透过最上方的出射束。从第一个装置出来的粒子中，有多大比例能够通过第二个装置？