第13章 氢原子

13.1 本征值问题

习题 13.1.1 从方程 (13.1.8)–(13.1.10) 出发，推导方程 (13.1.11) 和 (13.1.14)。

习题 13.1.2 推导简并度公式，即方程 (13.1.18)。

习题 13.1.3 从递推关系出发，求出归一化的 $\psi_{210}$。

习题 13.1.4 回忆上一章中的结果 [方程 (12.6.19)]：在 Coulomb 势 $V=-\mathrm{e}^2/r$ 中，当 $r\rightarrow\infty$ 时， $U_E\sim(r)^{m e^2/\kappa\hbar^2}\mathrm{e}^{-\kappa r}$， 其中 $\kappa=\left(2mW/\hbar^2\right)^{1/2}$。 证明这一结果与方程 (13.1.26) 一致。

习题 13.1.5 （Virial 定理）由于 $|n,l,m\rangle$ 是定态，对于任意 $\mathbf{\Omega}$，都有 $\langle\dot{\mathbf{\Omega}}\rangle=0$。
取 $\mathbf{\Omega}=\mathbf{R}\cdot\mathbf{P}$， 并利用 Ehrenfest 定理，证明在状态 $|n,l,m\rangle$ 中 $\langle T\rangle=(-1/2)\langle V\rangle$。

13.2 氢原子能谱的简并

习题 13.2.1 让我们看看为什么 Runge-Lenz 矢量 $\mathbf{n}$ 的守恒意味着轨道是闭合的。

(1) 仅用 $\mathbf{r}$ 和 $\mathbf{p}$ 表示 $\mathbf{n}$（消去 $\mathbf{1}$）。

(2) 由于粒子处于束缚态，它不可能逃到无穷远。因此，从某个任意时刻开始跟踪粒子的运动，它必然会到达某一点 $\mathbf{r}_{\max}$，此时它到原点的距离不再增大。证明

13.3 数值估算及与实验的比较

习题 13.3.1 π 介子作为核力的媒介，其作用范围为 $1~\mathrm{Fermi}=10^{-5}\text{\AA}$。 估算它的静止能量。

习题 13.3.2 估算动能为 $200~\mathrm{eV}$ 的电子的 de Broglie 波长。（回忆 $\lambda=2\pi\hbar/p$。）

13.4 多电子原子与元素周期表

习题 13.4.1 证明：如果忽略电子之间的相互作用，多电子原子的能级按 $Z^2$ 标度。既然 Coulomb 势为 $Ze/r$，为什么能量却正比于 $Z^2$？

习题 13.4.2 粗略比较铀原子和氢原子的大小。假设能级按照 $n$ 递增的顺序依次填充，并且非相对论描述仍然适用。忽略电子之间的相互作用。

习题 13.4.3 可见光的波长约为 $5000\text{\AA}$。 你认为 Lyman、Balmer、Paschen 这几个谱系中，哪一个最先被发现？