第9章 Heisenberg 不确定关系

9.1 引言

习题 9.4.1 考虑处于状态 $|n=1\rangle$ 的谐振子，验证

\left\langle\frac{1}{X^2}\right\rangle \simeq \frac{1}{\left\langle X^2\right\rangle} \simeq \frac{m \omega}{\hbar}

习题 9.4.2 (1) 参考附录 A.2 中的积分表，验证

\psi=\frac{1}{\left(\pi a_0^3\right)^{1 / 2}} e^{-r / a_0}, \quad r=\left(x^2+y^2+z^2\right)^{1 / 2}

是一个归一化波函数（氢原子的基态波函数）。注意，在三维中，对于只依赖于 $r$ 的函数，归一化条件为

\begin{aligned} \langle\psi \mid \psi\rangle & =\int \psi^*(r, \theta, \phi) \psi(r, \theta, \phi) r^2 \mathrm{d} r \mathrm{d}(\cos \theta) \mathrm{d} \phi \\ & =4 \pi \int \psi^*(r) \psi(r) r^2 \mathrm{d} r=1 \end{aligned}

(2) 计算该状态中的 $(\Delta X)^2$ [说明 $(\Delta X)^2=\dfrac{1}{3}\left\langle r^2\right\rangle$ ]，并重新得到方程 (9.4.9) 中给出的结果。

(3) 证明在该状态中 $\langle 1 / r\rangle \simeq 1 /\langle r\rangle \simeq m e^2 / \hbar^2$ 。

习题 9.4.3 暂时忽略氢原子是一个三维系统这一事实，并假装

H=\frac{P^2}{2 m}-\frac{e^2}{\left(R^2\right)^{1 / 2}} \quad\left(P^2=P_x^2+P_y^2+P_z^2, R^2=X^2+Y^2+Z^2\right)

对应于一个一维问题。假设

\Delta P \cdot \Delta R \geqslant \hbar / 2

估算基态能量。

习题 9.4.4 计算 $\Delta T \cdot \Delta X$ ，其中 $T=P^2/2m$ 。为什么这一关系没有那么著名？