第8章 量子理论的路径积分形式

8.1 路径积分处方

8.2 对该处方的分析

8.3 自由粒子 $U(t)$ 的一个近似

8.4 自由粒子传播子的路径积分计算

8.5 与 Schrödinger 方程的等价性

8.6 形如 $V=a+bx+cx^{2}+d\dot{x}+ex\dot{x}$ 的势

习题 8.6.1 验证

与 $V(x)=-fx$ 时的精确结果，即方程 (5.4.31)，一致。提示：从 $x_{\text{cl}}(t^{\prime\prime})=x_{0}+v_{0}t^{\prime\prime}+\dfrac{1}{2}(f/m)t^{\prime\prime 2}$ 出发，并利用条件 $x_{\text{cl}}(0)=x^{\prime}$ 和 $x_{\text{cl}}(t)=x$ 求出常数 $x_{0}$ 和 $v_{0}$。

习题 8.6.2 证明对于 Lagrange量为

的谐振子，

其中 $A(t)$ 是一个未知函数。（回忆习题 2.8.7。）

习题 8.6.3 我们知道，给定本征函数和本征值之后，可以构造传播子： \begin{equation}\label{8.6.15} U(x,t;x^{\prime},t^{\prime})=\sum_{n}\psi_{n}(x)\psi_{n}^{*}(x^{\prime})\mathrm{e}^{-\mathrm{i}E_{n}(t-t^{\prime})/\hbar}\tag{8.6.15} \end{equation} 对于谐振子，考虑反过来的过程（因为路径积分方法能够直接给出 $U$）。

(1) 令 $x=x^{\prime}=t^{\prime}=0$。假设对于谐振子 $A(t)=(m\omega/2\pi\mathrm{i}\hbar\sin\omega t)^{1/2}$。 通过展开方程 (\ref{8.6.15}) 的两边，你应该得到 $E=\hbar\omega/2$、$5\hbar\omega/2$、$9\hbar\omega/2$、$\ldots$ 等。中间那些能级发生了什么？

(2) 现在考虑如何提取本征函数。令 $x=x^{\prime}$ 且 $t^{\prime}=0$。通过按 $\alpha=\exp(\mathrm{i}\omega t)$ 的幂展开，求出 $E_{0}$、$E_{1}$、$|\psi_{0}(x)|^{2}$ 和 $|\psi_{1}(x)|^{2}$。

习题 8.6.4 回忆从方程 (8.5.4) 出发推导 Schrödinger 方程 (8.5.8) 的过程。注意，尽管我们把 $V$ 的宗量取为中点 $x+x^{\prime} / 2$，实际上这并没有太大影响：对于 $0\leqslant \alpha \leqslant 1$， 任何选择 $x+\alpha \eta$ （其中 $\eta=x^{\prime}-x$） 都会给出相同的结果，因为不同选择之间的差异是 $\eta \varepsilon \simeq \varepsilon^{3 / 2}$ 阶的。这一切都得益于方程 (8.5.4) 中乘在 $V$ 前面的因子 $\varepsilon$，以及根据方程 (8.6.5) 有 $|\eta| \simeq \varepsilon^{1 / 2}$。