数小仓的窝
§ QM-08 量子理论的路径积分形式
2025-05-08
量子力学原理习题解
00

第8章 量子理论的路径积分形式

8.1 路径积分处方

8.2 对该处方的分析

8.3 自由粒子 U(t)U(t) 的一个近似

8.4 自由粒子传播子的路径积分计算

8.5 与 Schrödinger 方程的等价性

8.6 形如 V=a+bx+cx2+dx˙+exx˙V=a+bx+cx^{2}+d\dot{x}+ex\dot{x} 的势

习题 8.6.1 验证

U(x,t;x′,0)=A(t)exp⁡(iScl/ℏ), A(t)=(m2πℏit)1/2U(x,t;x^{\prime},0)=A(t)\exp(\mathrm{i}S_{\text{cl}}/\hbar),~A(t)=\left(\dfrac{m}{2\pi\hbar\mathrm{i}t}\right)^{1/2}

与 V(x)=−fxV(x)=-fx 时的精确结果，即方程 (5.4.31)，一致。提示：从 xcl(t′′)=x0+v0t′′+12(f/m)t′′2x_{\text{cl}}(t^{\prime\prime})=x_{0}+v_{0}t^{\prime\prime}+\dfrac{1}{2}(f/m)t^{\prime\prime 2} 出发，并利用条件 xcl(0)=x′x_{\text{cl}}(0)=x^{\prime} 和 xcl(t)=xx_{\text{cl}}(t)=x 求出常数 x0x_{0} 和 v0v_{0}。

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§ QM-07 谐振子
2025-05-07
量子力学原理习题解
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第7章 谐振子

7.1 为什么要研究谐振子？

7.2 经典谐振子的回顾

7.3 谐振子的量子化（坐标基底）

习题 7.3.1 考虑这样一个问题：为什么对于方程 (7.3.11) 我们尝试了幂级数解，而对于方程 (7.3.8) 却没有这样做。把一个级数代入后一个方程，验证会得到 Cn+2C_{n+2}、CnC_n 和 Cn−2C_{n-2} 之间的三项递推关系，而从这个关系并不能很方便地得到解。问题在于，ψ′′\psi^{\prime\prime} 比 2εψ2\varepsilon\psi 少两个 yy 的幂次，而 −y2-y^2 项则多两个 yy 的幂次。另一方面，在方程 (7.3.11) 中，三项 u′′u^{\prime\prime}、−2yu′-2yu^{\prime} 和 (2ε−1)u(2\varepsilon-1)u 中，后两项具有相同的 yy 幂次。

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§ QM-06 经典极限
2025-05-06
量子力学原理习题解
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§ QM-05 一维中的简单问题
2025-05-05
量子力学原理习题解
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第5章 一维中的简单问题

5.1 自由粒子

习题 5.1.1 证明方程 (5.1.9) 可以改写为对 EE 的积分以及对 ±\pm 指标的求和：

U(t)=∑α=±∫0∞[m(2mE)1/2]∣E,α⟩⟨E,α∣e−iEt/ℏdEU(t)=\sum_{\alpha= \pm} \int_0^{\infty}\left[\frac{m}{(2 m E)^{1 / 2}}\right]|E, \alpha\rangle\langle E, \alpha| \mathrm{e}^{-\mathrm{i} E t / \hbar} \mathrm{d} E
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§ QM-04 一般性讨论：量子力学公设
2025-05-04
量子力学原理习题解
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第4章 一般性讨论：量子力学公设

4.1 基本公设

4.2 对基本公设 I–III 的讨论

习题 4.2.1 考虑 Hilbert 空间 V3(C)\mathbb{V}^{3}(C) 上的下列算符：

Lx=121/2(010101010)Ly=121/2(0−i0i0−i0i0)Lz=(10000000−1)L_{x}=\frac{1}{2^{1/2}}\begin{pmatrix} 0&1&0\\ 1&0&1\\ 0&1&0 \end{pmatrix}\qquad L_{y}=\frac{1}{2^{1/2}}\begin{pmatrix} 0&-i&0\\ i&0&-i\\ 0&i&0 \end{pmatrix}\qquad L_{z}=\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}

(1) 如果测量 LzL_{z}，可能得到哪些数值？

(2) 取 Lz=1L_{z}=1 的状态。在这一状态下，⟨Lx⟩\langle L_{x}\rangle、⟨Lx2⟩\langle L_{x}^{2}\rangle 和 ΔLx\Delta L_{x} 分别是多少？

(3) 在 LzL_{z} 基底中求出 LxL_{x} 的归一化本征态和本征值。

(4) 如果粒子处于 Lz=−1L_{z}=-1 的状态，并测量 LxL_{x}，可能得到哪些结果？各自的概率是多少？

(5) 考虑状态

∣ψ⟩=(1/21/21/21/2)|\psi\rangle=\begin{pmatrix} 1/2\\ 1/2\\ 1/2^{1/2} \end{pmatrix}

它是在 LzL_{z} 基底中表示的。若在该状态下测量 Lz2L_{z}^{2} 并得到结果 +1+1，那么测量后的状态是什么？得到这一结果的概率是多少？如果再测量 LzL_{z}，可能得到哪些结果？各自的概率是多少？

(6) 一个粒子处于某一状态，使得概率为 P(Lz=1)=1/4P(L_{z}=1)=1/4、P(Lz=0)=1/2P(L_{z}=0)=1/2、P(Lz=−1)=1/4P(L_{z}=-1)=1/4。说明具有这一性质的最一般归一化状态为

∣ψ⟩=eiδ12∣Lz=1⟩+eiδ221/2∣Lz=0⟩+eiδ32∣Lz=−1⟩|\psi\rangle=\frac{e^{i \delta_1}}{2}\left|L_z=1\right\rangle+\frac{e^{i \delta_2}}{2^{1 / 2}}\left|L_z=0\right\rangle+\frac{e^{i \delta_3}}{2}\left|L_z=-1\right\rangle

前面曾指出，如果 ∣ψ⟩|\psi\rangle 是归一化状态，那么状态 eiθ∣ψ⟩e^{i \theta}|\psi\rangle 与它在物理上等价。这是否意味着乘在 LzL_z 本征态前面的因子 eiδie^{i \delta_i} 都无关紧要？[例如计算 P(Lx=0)P\left(L_x=0\right)。]

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