第11章 对称性及其推论

11.1 概述

11.2 量子理论中的平移不变性

习题 11.2.1 验证方程 (11.2.11b)。

习题 11.2.2 利用 $T^{\dagger}(\varepsilon)T(\varepsilon)=I$ 在 $\varepsilon$ 一阶近似下成立这一事实，推出 $G^{\dagger}=G$。

习题 11.2.3 回忆我们曾通过求解微分方程（第 2.8 节），从无穷小旋转变换得到有限旋转变换。验证：如果改为利用无穷串 Poisson 括号把变换后的坐标 $\overline{x}$ 和 $\overline{y}$ 与 $x$、$y$ 联系起来，也会得到相同的结果， $\overline{x}=x \cos \theta-y \sin \theta$ 等。（回忆 $\sin\theta$ 等函数的级数展开。）

11.3 时间平移不变性

11.4 宇称不变性

习题 11.4.1 证明：如果 $[\Pi,H]=0$， 那么一个初始处于偶/奇宇称状态的系统将保持其宇称不变。（注意，由于宇称是一个离散操作，因此在经典力学中没有与之对应的守恒定律。）

习题 11.4.2 一个粒子处于势

中，该势在平移 $x \rightarrow x+m a$ 下保持不变，其中 $m$ 为整数。动量守恒吗？为什么不守恒？

习题 11.4.3 已知在某个反应中，电子出来时其自旋总是与动量平行。说明宇称被破坏。

习题 11.4.4 我们一直把宇称看作镜面反射。在一维中这当然是正确的，因为 $x\rightarrow -x$ 可以看成关于原点处一个（点）镜面的反射结果。但在更高维中，如果使用一个平面镜（例如位于 $x-y$ 平面内），只有一个坐标（$z$）会反号，而宇称变换则会使三个坐标全部反号。

验证：关于 $x-y$ 平面的镜面反射，等价于先做宇称变换，再绕 $z$ 轴旋转 $180^{\circ}$。由于弱相互作用具有旋转不变性，因此镜面反射不变性的破坏意味着宇称不变性的破坏。

11.5 时间反演对称性