第10章 具有 $N$ 个自由度的系统

10.1 一维中的 $N$ 个粒子

习题 10.1.1 证明下列关系：

(1)

(2)

(3) 如果

那么

并且将 $1\to 2$ 时也有类似关系。

(4)

习题 10.1.2 设想一个虚构的世界，其中单粒子 Hilbert 空间是二维的。我们用 $|+\rangle$ 和 $|-\rangle$ 表示基矢。令

分别是在 $\mathbb{V}_1$ 和 $\mathbb{V}_2$ 上的算符（其中 $\pm$ 号标记基矢。例如 $b=\langle+| \sigma_1^{(1)}|-\rangle$ 等）。空间 $\mathbb{V}_1 \otimes \mathbb{V}_2$ 由四个矢量 $|+\rangle \otimes|+\rangle$、$|+\rangle \otimes|-\rangle$、$|-\rangle\otimes|+\rangle$、$|-\rangle\otimes|-\rangle$ 张成。证明（可以使用图像法或其他方法）：

(1)

（回忆 $\langle\alpha|\otimes\langle\beta|$ 是与 $|\alpha\rangle\otimes|\beta\rangle$ 对应的 bra。）

(2)

(3)

用两种方法完成第 (3) 问：一种是直接计算 $\sigma_{1}^{(1)\otimes (2)}$ 与 $\sigma_{2}^{(1)\otimes (2)}$ 的矩阵乘积；另一种是直接计算 $\sigma_{1}^{(1)}\otimes\sigma_{2}^{(2)}$ 的矩阵元。

习题 10.1.3 考虑耦合质量块系统的 Hamilton量：

我们从例 1.8.6 已知，如果采用简正坐标

以及相应的动量

则可以将 $\mathscr{H}$ 解耦。

(1) 用简正坐标重写 $\mathscr{H}$。验证这些简正坐标也是正则坐标，即

现在将该系统量子化，把这些变量提升为满足

的算符。在 $X_{\text{I}}$ 与 $X_{\text{II}}$ 的共同本征基底中写出 $H$ 的本征值方程。

(2) 直接量子化该系统，即把 $x_1$、$x_2$、$p_1$ 和 $p_2$ 提升为量子算符。在 $X_1$ 和 $X_2$ 的共同本征基底中写出 $H$ 的本征值方程。接着在该微分方程中，从 $x_1$、$x_2$（以及当然还有 $\partial/\partial x_1$、$\partial/\partial x_2$）变换到 $x_{\text{I}}$、$x_{\text{II}}$（以及 $\partial/\partial x_{\text{I}}$、$\partial/\partial x_{\text{II}}$）。最终应得到与第 (1) 问相同的结果。

10.2 更多维数中的更多粒子

习题 10.2.1 （三维势箱中的粒子） 回忆一个一维势箱中的粒子，当势箱从 $x=0$ 延伸到 $L$ 时，粒子被限制在区域 $0 \leqslant x \leqslant L$ 内；其波函数在边界 $x=0$、$L$ 处以及势箱外都为零（见习题 5.2.5）。现在考虑一个被限制在体积为 $L^3$ 的三维立方势箱中的粒子。取立方体的一个顶点为原点，并令 $x$、$y$、$z$ 轴沿该顶点相交的三条棱方向，证明归一化能量本征函数为

其中

并且 $n_i$ 为正整数。

习题 10.2.2 量子化二维谐振子，其

(1) 证明允许的能量为

(2) 用单个谐振子的波函数写出相应的波函数。验证它们在 $x\rightarrow -x$、$y\rightarrow -y$ 下具有确定的宇称（偶/奇），并且宇称只依赖于 $n=n_x+n_y$。

(3) 接着考虑各向同性谐振子 $\left(\omega_x=\omega_y\right)$。 写出前三个状态（即 $n=0$ 和 $1$ 的情形）的显式归一化本征函数。为了后续使用，将结果改写成极坐标 $\rho$ 和 $\phi$ 的形式。证明能量为 $E=(n+1)\hbar\omega$ 的能级简并度为 $(n+1)$。

习题 10.2.3 量子化三维各向同性谐振子，其

(1) 证明 $E=(n+3 / 2) \hbar \omega$； $n=n_x+n_y+n_z$； $n_x,n_y,n_z=0,1,2,\ldots$。

(2) 用单个谐振子的波函数写出相应的本征函数，并验证给定 $n$ 的能级宇称为 $(-1)^n$。将前四个状态改写成球坐标形式。证明能量为 $E=(n+3 / 2)\hbar\omega$ 的能级简并度为 $(n+1)(n+2)/2$。

10.3 全同粒子

习题 10.3.1 两个全同玻色子分别处于状态 $|\phi\rangle$ 和 $|\psi\rangle$。当 $\langle\phi \mid \psi\rangle \neq 0$ 时，写出描述该系统的归一化状态矢量。

习题 10.3.2 对一个势箱中的三个玻色子系统进行能量测量，得到的 $n$ 值分别为 $3$、$3$ 和 $4$。写出一个对称化且归一化的状态矢量。

习题 10.3.3 设想这样一种情形：有三个粒子，并且只有三个状态 $a$、$b$、$c$ 可供它们占据。证明该系统允许的不同组态总数为：

(1) 如果粒子可区分，则为 27；

(2) 如果粒子是玻色子，则为 10；

(3) 如果粒子是费米子，则为 1。

习题 10.3.4 两个质量均为 $m$ 的全同粒子处于长度为 $L$ 的一维势箱中。对系统进行能量测量，得到 $E_{\text{sys}}=\hbar^2 \pi^2/mL^2$。 写出系统的状态矢量。

再对 $E_{\text{sys}}=5 \hbar^2 \pi^2 / 2 m L^2$ 的情形重复上述过程。（此时有两个可能的状态矢量。）题目没有告诉你这些粒子是玻色子还是费米子。可以假设系统唯一的自由度是轨道自由度。

习题 10.3.5 考虑交换算符 $P_{12}$，它在 $X$ 基底上的作用为

(1) 证明 $P_{12}$ 的本征值为 $\pm 1$。（它既是 Hermitian 的，也是酉的。）

(2) 证明它作用在基矢 $\left|\omega_1,\omega_2\right\rangle$ 上时，同样只是交换标号 $1$ 和 $2$，从而证明 $\mathbb{V}_{S/A}$ 分别是其本征值为 $\pm 1$ 的本征子空间。

(3) 证明 $P_{12}X_1P_{12}=X_2$、 $P_{12}X_2P_{12}=X_1$， 并且对 $P_1$ 和 $P_2$ 也有类似关系。接着证明

[考虑其在 $\left|x_1,x_2\right\rangle$ 或 $\left|p_1,p_2\right\rangle$ 上的作用。对于 $X$ 和 $P$ 的函数，假设它们可以展开为幂级数，并考察级数中的任意一项。如果需要帮助，可以参考通向方程 (11.2.22) 的讨论。]

(4) 证明对于两个全同粒子，Hamilton量和传播子在变换 $H\rightarrow P_{12}HP_{12}$ 以及 $U\rightarrow P_{12}UP_{12}$ 下保持不变。由此证明，$P_{12}$ 的任一本征态在随时间演化时，仍然保持为具有相同本征值的本征态；也就是说， $\mathbb{V}_{S/A}$ 中的状态永远不会离开它们最初所在的对称或反对称子空间。

习题 10.3.6 考虑像氢原子这样的复合对象。它会表现为玻色子还是费米子？一般性地说明：由偶数/奇数个费米子组成的对象将分别表现为玻色子/费米子。