Gauß的正十七边形尺规作图

假设正十七边形边长为 $a$ ，内接于单位圆。显然， $a=2\sin\left(\dfrac{\pi}{17}\right)$ 。可以运用复数方法求出 $a$ 的代数表达式，因而也就解决了正十七边形尺规作图问题。

设 $x=\mathrm{e}^{\frac{2\pi\mathrm{i}}{17}}$ ，由于 $x^{0}$ ， $x^{1}$ ， $x^{2}$ ， $\ldots$ ， $x^{16}$ 都是方程 $x^{17}-1=0$ 的根，因此有

x^{0}+x^{1}+x^{2}+\cdots+x^{16}=0

或

x^{1}+x^{2}+x^{3}+\cdots+x^{16}=-1

现在令

\begin{aligned} s&=x^{1}+x^{9}+x^{9^{2}}+x^{9^{3}}+\cdots+x^{9^{7}}\\ &=x^{1}+x^{9}+x^{13}+x^{15}+x^{16}+x^{8}+x^{4}+x^{2},\\ s^{\prime}&=x^{3}+x^{3^{3}}+x^{3^{5}}+\cdots+x^{3^{15}}\\ &=x^{3}+x^{10}+x^{5}+x^{11}+x^{14}+x^{7}+x^{12}+x^{6}. \end{aligned}

在得到这两式时用到了 $x^{17}=1$ 以及

\begin{aligned} 9^{2}&=4\times 17+13,\\ 9^{3}&=42\times 17+15,\\ &\vdots\\ 3^{3}&=1\times 17+10, \end{aligned}

将 $s$ 和 $s^{\prime}$ 直接相乘，即可验证

ss^{\prime}=-4

在复平面上标出 $x^{0}$ ， $x^{1}$ ， $\ldots$ ， $x^{16}$ 的位置。可以看出，这些点均匀地分布在单位圆上，而且， $x^{1}$ 与 $x^{16}$ ， $x^{9}$ 与 $x^{8}$ ， $x^{13}$ 与 $x^{4}$ ，以及 $x^{15}$ 与 $x^{2}$ 都互为共轭，这说明 $s$ 一定为实数，并且从 $x^{1}$ ， $x^{2}$ ， $x^{4}$ 和 $x^{5}$ 各点地具体位置可以进一步断定 $s$ 为正。因此

s=\dfrac{1}{2}(\sqrt{17}-1),\qquad s^{\prime}=-\dfrac{1}{2}(\sqrt{17}+1).

再进一步将 $s$ 和 $s^{\prime}$ 拆成两组数之和：

\begin{aligned} p&=x^{1}+x^{13}+x^{16}+x^{4},&\qquad p^{\prime}&=x^{9}+x^{15}+x^{8}+x^{2},\\ q&=x^{3}+x^{5}+x^{14}+x^{12},&\qquad q^{\prime}&=x^{10}+x^{11}+x^{7}+x^{6}, \end{aligned}

容易验证

\begin{aligned} p+p^{\prime}&=s,&\qquad pp^{\prime}&=-1.\\ q+q^{\prime}&=s^{\prime},&\qquad qq^{\prime}&=-1.\\ \end{aligned}

所以

p=\dfrac{1}{2}\left(s+\sqrt{s^{2}+4}\right),\qquad q=\dfrac{1}{2}\left(s^{\prime}+\sqrt{s^{\prime 2}+4}\right).

再令

r=x^{1}+x^{16},\qquad r^{\prime}=x^{13}+x^{4},

显然，又有

r+r^{\prime}=p,\qquad rr^{\prime}=q.

所以

r=x^{1}+x^{16}=2\cos\dfrac{2\pi}{17}=\dfrac{1}{2}\left(p+\sqrt{p^{2}-4q}\right).

最后求得

a=\sqrt{2-r}.

用尺规作图法可以作出 $s$ ， $s^{\prime}$ ， $p$ ， $q$ 和 $r$ ，因此也就求出了正十七边形的边长 $a$ .