第3章 经典力学出了问题

3.1 经典物理中的粒子与波

第2章 经典力学回顾

2.1 最小作用量原理与Lagrange力学

习题 2.1.1 考虑下面这个称为谐振子的系统。物块的质量为 $m$，并置于无摩擦表面上。弹簧的劲度系数为 $k$。写出Lagrange量并求出运动方程。

第1章 数学导论

1.1 线性矢量空间：基础

习题 1.1.1 验证这些结论。对于第一个结论，考虑 $|0\rangle+|0^{\prime}\rangle$，并依次使用两个零矢量所具有的性质。对于第二个结论，从 $|0\rangle=(0+1)|V\rangle+|-V\rangle$ 出发。对于第三个结论，从 $|V\rangle+(-|V\rangle)=0|V\rangle=|0\rangle$ 开始。对于最后一个结论，设 $|W\rangle$ 也满足 $|V\rangle+|W\rangle=|0\rangle$。由于 $|0\rangle$ 是唯一的，这意味着 $|V\rangle+|W\rangle=|V\rangle+|-V\rangle$。接下来请自行完成。

零、光度学相关物理量的基本概念

在日常语言里，我们常说“这个灯很亮”，“桌面很亮”，“屏幕很亮”。但在物理和照明工程中，“亮”不能只用一个词来表示，因为它可能指不同的事情：

• 光源往某个方向发得强不强；
• 光源一共发出多少光；
• 某个表面被照得有多亮；
• 某个表面自己向外发出多少光；
• 人眼从某个方向看过去时感觉它有多亮。

§0 历史

变分法可以说始于Newton在1687年提出的最小阻力问题，随后是由Johann Bernoulli在1696年提出的最速降线问题。这个领域立即引起了Jacob Bernoulli和Marquis de l'Hôpital的关注，但Leonhard Euler在1733年开始系统地阐述了这一主题。Lagrange受Euler的工作影响，对这一理论做出了重要贡献。在Euler看到19岁的Lagrange于1755年发表的工作后，放弃了自己部分几何的方法，转而采用Lagrange的纯解析方法，并在1756年的讲座《Elementa Calculi Variationum》中重新命名了这一学科。

Legendre在1786年提出了一种方法，用于区分极大值和极小值，但并不完全令人满意。Isaac Newton和Gottfried Leibniz也早期对这个主题给予了一些关注。在这一领域做出贡献的还有Vincenzo Brunacci（1810年）、Carl Friedrich Gauss（1829年）、Siméon Poisson（1831年）、Mikhail Ostrogradsky（1834年）和Carl Jacobi（1837年）。Sarrus（1842年）的一部重要著作被Cauchy（1844年）简化并改进。其他重要的论文和专著包括Strauch（1849年）、Jellett（1850年）、Otto Hesse（1857年）、Alfred Clebsch（1858年）和Lewis Buffett Carll（1885年）的著作，但本世纪最重要的工作或许要属Weierstrass的贡献。他关于该理论的著名课程具有划时代的意义，可以说他是第一个使变分法建立在牢固且无可争议的基础上的人。1900年发表的Hilbert第20和第23个问题进一步促进了这一领域的发展。

在20世纪，David Hilbert、Oskar Bolza、Gilbert Ames Bliss、Emmy Noether、Leonida Tonelli、Henri Lebesgue和Jacques Hadamard等人都对变分法做出了重要贡献。Marston Morse将变分法应用于现在称为Morse理论的领域。Lev Pontryagin、Ralph Rockafellar和F.H. Clarke在最优控制理论中发展了变分法的新数学工具。Richard Bellman的动态规划是变分法的一个替代方法。